Chap.2 :

Les axiomes

Remarque 1 préliminaire : En théorie des ensembles,on décide une bonne fois pour toutes que tout ce qui est écrit et qui n'est pas un symbole logique est un ensemble,par conséquent la formule «x=x» signifie exactement que x est un ensemble.

Axiome 0 (Axiome d'existence) :

(Il existe au moins un ensemble).

Axiome 1 (Axiome d'extensionalité) :

(2 ensembles qui ont les mêmes éléments sont égaux). 

Axiome 2 (Axiome de fondation) :

Cela signifie que tout ensemble non vide possède un élément minimal pour la relation d'appartenance,ce qui implique en particulier qu'il n'existe pas d'ensemble x tel que et qu'il n'existe pas de suite finie telle que

Cet axiome ne sert à rien en mathématiques,mais il est «rassurant».
On n'utilisera jamais l'axiome 2 dans cette introduction à la théorie des ensembles.En particulier quand on voudra démontrer,pour un ensemble donné x,que on le fera toujours sans faire appel à l'axiome de fondation.

Axiome 3 (Schéma de compréhension) :
pour toute formule ne comportant pas y comme variable libre :

Commentaires :
L'ensemble y qui est censé exister d'après l'axiome 3 est unique d'après l'axiome d'extensionalité,et on le note

  Comme son nom l'indique,le schéma de compréhension permet de définir un ensemble «en compréhension» comme sous-ensemble d'un ensemble supposé connu.
A part y,la formule peut comporter n'importe quelle variable libre.Par exemple,si comporte comme variables libres,l'axiome 3 (pour ) peut s'écrire :

On est obligé de supposer que ne contient pas la variable libre y pour éviter certaines absurdités.

Exemple 1 :

ce qui serait incompatible avec l'existence d'un ensemble z non vide.<> On ne peut pas se passer de l'ensemble de référence z,car l'axiome

En effet : Soit
On aurait alors :
Question : A-t-on


Moralité : ce qui est absurde.

Remarque 2 : C'est exactement le paradoxe de Russel (le barbier du village rase tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes;question : le barbier se rase-t-il lui-même?).
On dit que la formule n'est pas collectivisante en x (elle ne permet pas de définir un ensemble).

Bien qu'il exprime une idée unique,le schéma de compréhension consiste en une collectioninfinie d'axiomes (un pour chaque formule ).

Conséquences des axiomes 0,1,3 :
D'après l'axiome 0,il existe un ensemble z.
Soit la formule
D'après le schéma de compréhension,il existe un ensemble

Voici donc un ensemble qui n'a pas d'élément,et qui est unique d'après l'axiome d'extensionalité.

Définition 1 : est l'unique ensemble y tel que
Nous allons montrer en passant qu'il n'existe pas d'ensemble universel.

Théorème 1 :

Démonstration : Si un tel z existe,d'après le schéma de compréhension il existe aussi un ensemble

mais alors
et on a vu qu'un tel ensemble y ne peut pas exister.

Définition 2 : est l'abréviation pour
On a en particulier

Axiome 4 (Axiome de la paire) :

Conséquences de l'axiome 4 :
x,y donnés
Soit z n'importe quel ensemble tel que
D'après le schéma de compréhension,il existe un ensemble

Cet ensemble,uniqued'après l'axiome d'extensionalité,a précisément x et y pour éléments.

Notation : A={x,y}
Si x=y,on note A={x}={x,x} l'ensemble dont le seul élément est x
Enfin,{x} et {x,y} étant maintenant 2 ensembles,on note
le couple (ou la paire ordonnée) formé de x et de y.

Axiome 5 (Axiome de la réunion) :

Commentaires : est supposé être une famille d'ensembles,et l'axiome 5 postule l'existence d'un ensemble A tel que chaque élément Y de soit un sous-ensemble de A.

Conséquences de l'axiome 5 :
On peut maintenant définir la réunion de la famille par :

Cet ensemble existe d'après le schéma de compréhension,car


Cet ensemble existe car,pour tout
[On n'utilise pas l'axiome 5 ici].
«serait» l'ensemble de tous les ensembles,qui n'existe pas.

Nouvelles notations :

Axiome 6 (Schéma de remplacement) :
pour toute formule ne comportant pas Y comme variable libre :

Traduction : Soit A un ensemble quenconque.Supposons que,pour tout il existe un unique y,quelque part dans la nature,qui vérifie . On a envie de «saisir» l'ensemble de tous les y en question (cet objet semble en effet suffisamment petit pour constituer un ensemble puisque,grâce au il doit avoir une cardinalité inférieure ou égale à celle de A.
L'axiome de remplacement fournit l'existence d'un tel ensemble Y qui contient tous ces y.

Conséquences de l'axiome 6 :
Conséquence 1 : On peut définir effectivement l'ensemble

Z existe d'après remplacement + compréhension,puisque
pour n'importe quel Y fourni par l'axiome 6.

Conséquence 2 : On va maintenant définir proprement le produit cartésien de 2 ensemble A et B.

Définition 3 :

Exercice 1 : Justifier cette définition en appliquant 2 fois le schéma de remplacement.

Réponse : pour tout (y fixé),on a :

D'après la conséquence 1,on peut définir

Maintenant,
Toujours d'après la conséquence 1,on peut définir

et pour finir

Remarque 3 : Attention,il ne s'agit là que d'un exercice à vocation pédagogique.On peut,bien sûr,démontrer l'existence du produit cartésien sans faire appel au schéma de remplacement,mais le but du jeu était de faire comprendre,sur un exemple simple,comment on manipule l'axiome 6.La grande majorité des théorèmes démontrés et utilisés dans lesmathématisues classiques peuvent l'être sans avoir besoin de supposer l'axiome de remplacement.C'est seulement lors de manipulations délicates sur les ordinaux qu'il s'avère indispensable,nous le signalerons d'ailleurs en temps utile.

Remarque 4 : Tout comme le schéma de compréhension,le schéma de remplacement consiste en une infinité d'axiomes (un pour chaque formule ).

Les axiomes 0,1,3,4,5,6 vont nous suffire pour définir correctement les notions de relation,de fonction et de bon ordre.Cette dernière nous conduira tout naturellement,au Chap 4,à la notion fondamentale d'ordinal. Nous devrons alors postuler l'axiome 7 (axiome de l'infini) pour pouvoir construire N,puis Z et Q.L'axiome 8 (axiome de l'ensemble des parties) nous sera indispensable pour construire R. Enfin,il sera discuté âprement de l'axiome 9 (axiome du choix) dans le Chap 11.