Chap.4 :

Ordinaux

I) Définitions
Définition 1 : Un ensemble x est transitif ssi tout élément de x est un sous-ensemble de x.

Exemple 1 :

Contre-exemple :

Remarque 1 : S'il existe,quelque part dans la nature,un ensemble x tel que x={x},alors x est transitif.
[Cela ne peut pas se produire si on suppose l'axiome de fondation].

Définition 2 : x est un ordinal ssi x est transitif et bien ordonné par la relation

Remarque 2 : Cela signifie que la paire ordonnée est un bon ordre,où

Exemple 2 : etc.

Contre-exemple : Si x={x},alors x n'est pas un ordinal,car on aurait et donc la relation  ne serait pas irréflexive.

Notations simplifiées : x ordinal,
On écrira au lieu de ,et pred(x,y) au lieu de

II) Propriétés élémentaires des ordinaux
Théorème 1 : (1) Si x est un ordinal et si alors y est un ordinal et y=pred(x,y)
(2) Si x et y sont des ordinaux et si alors x=y
(3) Si x et y sont des ordinaux,alors l'une des 3 propositions suivantes (et une seule) est vraie : x=y,
(4) Si x,y,z sont des ordinaux et si
(5) Si C est un ensemble non vide d'ordinaux,alors

Démonstration : (1) Comme x est transitif,on a ,donc y est bien ordonné comme sous-ensemble d'un ensemble bien ordonné.
Par ailleurs,
Enfin,y est transitif car,si la propriété précédente montre que z=pred(y,z),donc
Moralité : Tout ordinal est égal à l'ensemble des ordinaux qui le précèdent.
Exemple 3 : On verra un peu plus tard que 27={0,1,2,...,26}
(2) évident car alors
(3) C'est une conséquence immédiate du théorème fondamental vu à la fin du Chap.3.
(4) évident.
(5) Soit
alors x convient :
en effet,soit on a
mais exclu car alors

étant bien ordonné par ,il admet un plus petit élément x',et
[Si et donc x' ne serait pas le plus petit élément de ]
...et donc x' convient.

Théorème 2 :
[Il n'existe pas d'ensemble de tous les ordinaux].

Démonstration : S'il existait un tel ensemble,d'après le schéma de compréhension il existerait un ensemble
ON={x : x est un ordinal}
x est égal à l'ensemble des ordinaux qui le précèdent,donc
ON est transitif.
par ailleurs,(3),(4) et (5) du théorème 1 ON est bien ordonné par ,donc ON est un ordinal.
donc absurde car alors ne serait plus un ordre total strict.

Remarque 4 : Par contre,toute section commençante du «non-existant» ON est un ordinal.

Lemme 1 : Si A est un ensemble d'ordinaux et si alors A est un ordinal.

Démonstration : en exercice
[Indication : il suffit d'écrire]

Théorème 3 fondamental : Si (A,R) est un ensemble bien ordonné,alors il existe un unique ordinal C tel que

Démonstration : Soit
Soit f la fonction de domaine B définie par
et soit C=Im f.

où
D'après le lemme,C est un ordinal,
et f est donc un isomorphisme de (B,R) sur C.
terminé.
pour un certain mais pred(A,b,R) est isomorphe à un ordinal,donc ce qui est absurde car B=pred(A,b,R).
donc B=A,ce qui démontre l'existence de l'ordinal C.
L'unicité découle trivialement de l'assertion numéro 2 du théorème 1.

Le théorème fondamental justifie la définition suivante :

Définition 3 : Si (A,R) est bien ordonné,le type d'ordre de (A,R),noté Type(A,R),est l'unique ordinal C tel que

La notion de type d'ordre joue un rôle fondamental en analyse, nous aurons l'occasion d'en voir quelques exemples dans les derniers chapitres de ce «travail».

Nous y aurons également besoin des notations et définitions ci-dessous.

Nouvelles notations :
Les lettres grecques désignent des ordinaux.
remplace « (x est un ordinal) » etc.
remplace
signifie .

Définition 4 : Si X est un ensemble non vide d'ordinaux,
Si de plus

Lemme 2 : (1)
(2) Si X est un ensemble d'ordinaux,sup(X) est le plus petit ordinal à tous les éléments de X.
(3) Si de plus min(X) est le plus petit élément de X.

Démonstration : en exercice.

Nous allons maintenant utiliser de façon cruciale la notion d'ordinal pour construire N,puis Z,Q,R et C.