Problème

L'idée directrice de ce problème est d'essayer d'étendre à certaines suites la notion de valeur moyenne,bien connue pour les fonctions.Comme on ne sait pas diviser par ,on va être obligé de «pondérer intelligemment» les termes de la suite,de telle façon que les définitions introduites «collent» avec la logique la plus élémentaire.

Il s'agit,en quelque sorte,de «discrétiser» l'intégrale.

NOTATIONS : Dans tout le problème,E désigne l'espace vectoriel de toutes les suites réelles,c'est-à-dire de toutes les applications de N dans R.

désignant un réel strictement positif,on dit que la suite u est pondérable ssi la série de terme général est absolument convergente,et dans ce cas on note

N.B. Les questions I)2) et I)3)b) peuvent être «omises» lors d'une première étude.

PREMIERE PARTIE
Soit l'ensemble de toutes les suites pondérables.
1) Montrer que a une structure d'espace vectoriel sur R et que l'application définie par :

est une norme sur .
2) L'espace vectoriel est-il complet pour la métrique induite par la norme ?
3) Soient 2 réels tels que
a) Montrer que est strictement inclus dans
b) est-il fermé dans ?
4) On définit maintenant la hauteur d'une suite  par

avec les 2 conventions suivantes :


Le sup défini ci-dessus est-il atteint en général ?

DEUXIEME PARTIE
On note

1) Montrer que contient toutes les suites bornées et qu'en particulier,si u est la suite constante égale à ,alors pour tout
2) Montrer que la suite définie par est élément de et que pour tout
3) Montrer que la suite définie par est élément de et que pour tout
4) Montrer de même que la suite définie par est élément de et que pour tout
5) Déduire des questions précédentes que toute suite polynomiale est élément de
6) Montrer l'existence d'un élément de qui ne soit pas une suite polynomiale.
7) Construire une suite
Indication : Les éléments de sont les suites à «divergence rapide».

TROISIEME PARTIE
Dans cette partie les suites etc. sont notées simplement etc.
1) Utiliser les résultats de la deuxième partie pour calculer,de proche en proche,
2) Rassembler les résultats précédents dans un triangle analogue à celui de notre ami Pascal,et essayer d'«intuiter» la formule magique qui permet de passer d'une ligne à la suivante.
3) En déduire le calcul de
4) Donnez en toute franchise votre avis concernant le business précédent.

QUATRIEME PARTIE
On dit qu'une suite u est moyennable si et si la quantité admet une limite (finie ou non) quand Dans ce cas on appelle valeur moyenne l'objet

1) Montrer que les suites polynomiales sont moyennables et calculer leur valeur moyenne.
2) Démontrer le théorème de Césaro : si converge vers l,alors la suite définie par converge aussi vers l.
Remarque : Césaro dit en substance : « Si vous faîtes une infinité de contrôles dans le trimestre et si l'élève Lambda se stabilise autour de 12,sa moyenne sera approximativement de 12,même s'il a eu une pelletée de zéros au départ ».
Nous allons démontrer qu'il en est de même dans le cadre qui nous intéresse ici.
3) Montrer que,si u converge vers ,alors u est moyennable et
Moralité : Dans la définition de ,les coefficients ont pour effet apparent de pondérer «avantageusement» les premiers termes de la suite mais,dans le cas d'une suite convergente,c'est quand même l'infini qui gagne.

CINQUIEME PARTIE
1) Soit la suite u=(1,4,2,1,4,2,1,4,2,...).
Montrer que u est moyennable et que
Que représente le nombre pour la suite u ?
2) Le théorème suivant est-il vrai :
Si u est une suite périodique de période T,alors u est moyennable et